所谓“3D数学”就是以数学方式精确地测量在三维空间中的位置、距离和角度。使用计算机执行此类计算的最常用的框架称为笛卡尔坐标系（Cartesian coordinate system）。

¶1.1 一维数学

自然数（Natural Number）是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。

有理数（Rational numbers）定义：可以表示为两个整数的比实数定义：包括有理数和无理数（例如π）

对于自然数和整数的研究称作为离散数学（Discrete Mathematics），对于实数的学习称为连续数学（Continuous Mathematics）。

计算机图形学第一定律:如果它看起来正确，那就是对的。

¶1.2 二维笛卡尔空间

二维笛卡尔坐标空间就是我们常说的直角坐标系，二维笛卡尔坐标空间是可以无限延伸的。二维笛卡尔坐标空间由以下两条信息定义：

每个二维笛卡尔坐标空间都有一个特殊的位置，称为原点（Origin），它是坐标的中心。
每个二维笛卡尔坐标空间都有两条直线通过原点，每条线都称为轴（Axis），并且可以在两个相反的方向上无限延伸。

对于二维坐标而言，无论X轴和Y轴选取的方向如何，总是可以旋转坐标空间。坐标空间是用于精确指定位置的框架。

¶1.3 三维笛卡尔空间

所有的三维坐标空间都不相等，因为某些坐标系对不能相互对齐。有以下两种不同类型的三维坐标空间：左手坐标空间和右手坐标空间。如果两个坐标空间具有相同的旋向性（Handedness），则可以旋转它们使得轴对齐：如果两个坐标空间的旋向性相反，那么这就是不可能的。

左手坐标系与右手坐标系的转换:交换一个轴的正负端即可。

左旋坐标系

首先左手握拳，然后竖起大拇指，大拇指指向旋转轴的正方向（正值端）；此时，围绕旋转轴的正向旋转方向就是其它四个手指卷曲的方向。在左手坐标系中，从旋转轴的正向看正向旋转的方向是顺时针的。

右旋坐标系

首先右手握拳，然后竖起大拇指，大拇指指向旋转轴的正方向（正值端）；此时，围绕旋转轴的正向旋转方向就是其它四个手指卷曲的方向。在右手坐标系中，从旋转轴的正向看正向旋转的方向是逆时针的。

本书使用左手坐标系。

¶1.4 一些零散的基础知识介绍

求和表达式

$\sum_{i=1}^{n}a_i=a_1+a_2+a_3+...+a_n$

求积表达式

$\prod_{i=1}^{n}a_i=a_1\times a_2\times a_3 \times ... \times a_n$

区间符号

闭区间（Closed Interval）也称为包含（Inclusive）区间，用” [ ”和” ] ”表示。
开区间（Open Interval）也称为排除（Exclusive）区间，用” ( ”和” ) ”表示。

$[a, b] 表示a \leq x \leq b \\ (a, b) 表示a < x < b \\ [a, b) 表示a \leq x < b \\ (a, b] 表示a < x \leq b$

角度、度数和弧度

角度可以用度数（Degree）和弧度（Radian）表示。

$弧度：1 rad = (180/\pi)^\circ \approx 57.29578^\circ \\ 度数：1 ^\circ = (\pi/180)rad \approx 0.01745329rad$

三角函数

在一个直角三角形中，斜边为：𝑟，其中一条直角边为：𝑥，另一条直角边为：𝑦，直角边𝑥与斜边𝑟的夹角为：𝜃，则:

$正弦：\sin{\theta}=𝑦/𝑟（对边 / 斜边） \\ 余弦：\cos{\theta}=𝑥/𝑟（邻边 / 斜边） \\ 正切：\tan{\theta}=𝑦/𝑥（对边 / 邻边） \\ 正割：\sec{\theta}=𝑟/𝑥（斜边 / 邻边） \\ 余割：\csc{\theta}=𝑟/𝑦（斜边 / 对边） \\ 余切：\cot{\theta}=𝑥/𝑦（邻边 / 对边） \\ \\ 推导出：\\ \sec{\theta}=\frac{1}{\cos{\theta}} \\ \tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \\ \cos{\theta}=\frac{1}{\sin{\theta}} \\ \cot{\theta}=\frac{1}{\tan{\theta}}=\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}$

三角函数恒等式

与对称性相关的基本恒等式

$\sin(-{\theta})=-\sin{\theta},\cos({-{\theta}})=\cos{\theta},\tan(-{\theta})=-\tan{\theta}. \\ \sin(\frac{\pi}{2}-{\theta})=\cos{\theta},cos(\frac{\pi}{2}-{\theta})=\sin{\theta},\tan(\frac{\pi}{2}-{\theta})=\cot{\theta}$

毕达哥拉斯定理

$a^2+b^2=c^2$

毕达哥拉斯恒等式

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1. \\ 1+\tan^2\theta=\sec^2\theta. \\ 1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$

和或差恒等式

$\sin(a+b)=\sin{a}\cos{b}+\cos{a}\sin{b}, \\ \sin(a-b)=\sin{a}\cos{b}-\cos{a}\cos{b}, \\ \cos(a+b)=\cos{a}\cos{b}-\sin{a}\sin{b}, \\ \cos(a-b)=\cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b}, \\ \tan(a+b)=\frac{\tan{a}+\tan{b}}{1-\tan{a}\tan{b}}, \\ \tan(a-b)=\frac{\tan{a}-\tan{b}}{1+\tan{a}\tan{b}} \\$

等腰三角形恒等式

$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta, \\ \cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta, \\ \tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$