¶2.1 向量和其它无聊东西的数学定义

对数学家来说，向量就是一个数字列表，对程序员来说向量可以数组（Array）表示，但在计算机的图形开发中我们侧重于向量的几何表示。数学家会区分向量和标量（Scalar）。

向量：指具有大小和方向的量。如：速度（Velocity）和位移（Displacement）。
标量：只具有数值大小，而没有方向等其他意义，部分有正负之分。如：速率（Speed）和距离（Distance）。
向量的维度：向量的维度表示向量中元素的个数。一个元素就是一维向量，两个数元素就是二维向量，三个元素就是三维向量…
向量表达：在书写向量时，有两种表达方式：水平写入和垂直写入，水平写入的向量称为行向量（Row Vector）,垂直写入的称为列向量（Column Vector）。

三维列向量

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$

线性代数：研究向量和矩阵的数学称为线性代数（linear algebra）。在线性代数中，n维度的向量和矩阵是用来求解有n个未知数的方程的。而在这本书中解释了向量和与矩阵的几何与几何意义。

¶2.2 向量的几何定义

矢量：在数学上讨论的向量，在几何学中可称为矢量。它是具有大小（Magnitude）和方向（Direction）的有向线段。在图形上常用箭头（起点指向终点）表示，因为它捕获了向量的两个定义特征：大小和方向。向量并没有位置信息，大小和方向一致的向量出现在图中的什么位置并没有区别。

向量的大小：向量的长度。向量是可以具有任何非负长度。
向量的方向：向量在空间中指向的方向。方向（Direction）不等于定向（Orientation）。

¶2.3 使用笛卡尔坐标指定向量

当使用笛卡尔坐标来描述向量时，向量中的每个元素表示对应的坐标的有符号位移。如[2,3]表示X轴方向移动了2，y轴方向移动了3，位移的顺序并没有关系。

零向量：它是唯一的一个大小为零的向量，唯一没有方向的向量，所以它的描绘为点。可以将零向量看作是表达“无位移”概念的一种方式。零向量是作为加法单位元（additive identity，加到别的元素上也不会造成区别的数字）。

¶2.4 向量与点

点（Points）表示位置，向量（Vectos）表示位移。

¶2.5 负向量

¶2.5.1 正式线性代数规则

让向量变负

$-\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_{n-1} \\ a_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -a_1 \\ -a_2 \\ \vdots \\ -a_{n-1} \\ -a_n \end{bmatrix}$

让二维、三维和思维向量变负

$-\begin{bmatrix} x \quad y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -x \quad -y \end{bmatrix}, \\ -\begin{bmatrix} x \quad y \quad z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -x \quad -y \quad -z \end{bmatrix}, \\ -\begin{bmatrix} x \quad y \quad z \quad w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -x \quad -y \quad z \quad -w \end{bmatrix}$

¶2.5.2 几何解释

向量的位置无关紧要的——只有大小和方向很重要。

¶2.6 标量和向量的乘法

向量和标量不能相加，但可以将向量乘以标量。结果是一个与原始向量平行的向量，当具有不同的长度和可能相反的方向。

¶2.6.1 正式线性代数规则

使用标量乘以向量

$k\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_{n-1} \\ a_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_{n-1} \\ a_n \end{bmatrix}k = \begin{bmatrix} ka_1 \\ ka_2 \\ \vdots \\ ka_{n-1} \\ ka_n \end{bmatrix}$

使用标量乘以三维向量

$k\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}k = \begin{bmatrix} kx \\ ky \\ kz \end{bmatrix}$

三维向量除以非零标量

$\frac{v}{k}=(\frac{1}{k})=\begin{bmatrix} v_x/k \\ v_y/k \\ v_z/k \end{bmatrix}$

当将向量乘以标量时，不必使用任何乘法符号。乘法是通过将两个量并排放置（通常右边的是向量）来表示。
标量和向量的乘法和除法都在任何加法和减法之前发生。
标量无法乘以向量，向量也无法除以另一个向量。
负向量可以被视为将向量乘以-1的特殊情况。

¶2.6.2 几何解释

在几何上，将向量乘以标量k具有将长度缩放|k|因子的效果。

¶2.7 向量的加法和减法

我们可以让两个向量相加或相减，只要它们具有相同的维度。结果是与向量运算项具有相同维度的向量。向量加法和减法的表示法与标量的加法和减法的表示法是一样的。

¶2.7.1 正式线性代数规则

向量的加法

$\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_{n-1} \\ a_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_{n-1} \\ b_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1+b_1 \\a_2+b_2 \\ \vdots \\ a_{n-1}+b_{n-1} \\ a_n+b_n \end{bmatrix}$

向量的减法

$\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_{n-1} \\ a_n \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_{n-1} \\ b_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_{n-1} \\ a_n \end{bmatrix} + \begin{pmatrix} - \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_{n-1} \\ b_n \end{bmatrix} \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} a_1-b_1 \\a_2-b_2 \\ \vdots \\ a_{n-1}-b_{n-1} \\ a_n-b_n \end{bmatrix}$

加法满足交换率

a + b = b + a

减法不满足交换律

a - b = - (b - a)

¶2.7.2 几何解释

三角形法则：如果从一个点开始应用a指定的位移，然后再应用由b指定的位移，那就像应用了单个位移a+b一样。这称为向量加法的三角形法则（Triangle Rule）。它也适用于向量减法。

向量加法是可以交换的，但是向量减法则不是。

¶2.7.3 从一点到另一点的位移向量

当要计算从点a到点b的位移向量，可以通过b−a获得.

¶2.8 向量大小

向量的大小也称为向量的长度（Length）或模（Norm）。它的值是非负的。

¶正式线性代数规则

任意维度的矢量大小

矢量的大小是矢量分量的平方和的平方根。

$||\textbf{v}||=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}v_i^2}=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots +v_{n-1}^2+v_n^2}$

二维和三维矢量的大小

$||\textbf{v}||=\sqrt{v_x^2+v_y^2} \quad 二维矢量\textbf{v} \\ ||\textbf{v}||=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} \quad 三维矢量\textbf{v}$

¶几何解释

毕达哥拉斯定理指出，对于任何直角三角形，斜边长度的平方等于另外两边长度的平方和。则有

$\quad\quad||\textbf{v}||^2=|v_x|^2+|v_y|^2 \\ \because \quad |x|^2=x^2 \\ \quad\quad\therefore \quad ||\textbf{v}||=v_x^2 + v_y^2 \\ \quad\quad\quad\quad\quad\therefore \quad \sqrt{||\textbf{v}||^2}=\sqrt{v_x2+v_y^2} \\ \quad\quad\quad\therefore \quad ||\textbf{v}||=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$

对于任何正大小m，存在无数个大小为m的矢量。由于这些矢量都具有相同的长度只是方向不同，因此，将它们的尾部放置在原点时，他们就会形成一个圆。

¶2.9 单位向量

对于许多向量，我们只关注其方向而不是大小，在这些情况下，使用单位向量通常会更方便。例如：法线（Normal）。

单位向量（Unit Vector）是大小为1的向量。单位向量也被称为归一化向量（Normalized Vector）。

¶2.9.1 正式线性代数规则

对于任何非零向量v，可以计算指向与v相同方向的单位向量，此过程称为向量的归一化（Normalizing）。零向量无法被归一化，在数学上是因为除零规则，在几何上是因为零向量没有定义方向。

向量的归一化

$\hat{v}=\frac{\textbf{v}}{||\textbf{v}||} \quad\quad其中，\textbf{v}是任意非零向量$

要归一化二维矢量[12, 5],则有

$\frac{\begin{bmatrix}12 \quad -5\end{bmatrix}}{||\begin{bmatrix}12 \quad -5\end{bmatrix}||}=\frac{\begin{bmatrix}12 \quad -5\end{bmatrix}}{\sqrt{12^2+5^2}}=\frac{\begin{bmatrix}12 \quad -5\end{bmatrix}}{\sqrt{169}}=\frac{\begin{bmatrix}12 \quad -5\end{bmatrix}}{13}=[\frac{12}{13} \quad \frac{-5}{13}]$

¶2.9.2 几何解释

在二维中，如果将单位向量的尾部绘制在原点处，则矢量的头部将接触到以原点为中心的单位圆（单位圆的半径为1）。在三维中，单位向量接触到的是单位球面。

请注意，向量长度大于1时，对向量进行归一化会使它更短；向量长度小于1时，对向量进行归一化会使它更长。

¶2.10 距离公式

距离为两点之间的线段长度。由于向量是有向线段，因此几何上有意义的是，两点之间的距离将等于从一点到另一点的向量的长度。

求a到b的向量d：

$\textbf{d}=\textbf{b}-\textbf{a}=\begin{bmatrix}b_x-a_x \\ b_y-a_y \\ b_z-a_z\end{bmatrix}$

a和b之间的距离等于向量d的长度(注意，此处，谁看作a，谁看作b无关紧要)：

$distance(\textbf{a},\textbf{b})=||\textbf{d}||=\sqrt{d_x^2+d_y^2+d_z^2}$

三维距离公式

$distance(\textbf{a},\textbf{b})=||\textbf{d}||=\sqrt{(b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2+(b_z-a_z)^2}$

二维距离公式

$distance(\textbf{a},\textbf{b})=||\textbf{d}||=\sqrt{(b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2}$

¶2.11 向量点积

向量点积（dot product）又称为向量内积（inner product）。点积的结果是标量。

¶2.11.1 正式线性代数规则

向量点乘时必须用一个使用点符号，如 $\textbf{a}\cdot\textbf{b}$ 。如果看到两个向量并排放置，中间没有符号，则需要根据矩阵乘法的规则进行解释。

矢量点积

$\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_{n-1} \\ a_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_{n-1} \\ b_n \end{bmatrix} = a_1 b_1+a_2 b_2 + \cdots + a_{n-1} b{n-1} + a_n b_n$

使用求和符号表示的向量点积

$\textbf{a}\cdot\textbf{b}=\sum_{i-1}^n a_i b_i$

向量点积是可交换的： $\textbf{a}\cdot\textbf{b}=\textbf{b}\cdot\textbf{a}$ 。

¶2.11.2 几何解释

¶投影

点积 $\textbf{a}\cdot\textbf{b}$ 等于 $\textbf{b}$ 投影到平行于 $\textbf{a}$ 的任何线上的有符号长度，乘以 $\textbf{a}$ 的长度。点积的符号可以给予我们对两个向量的相对方向的粗略分类。当 $\textbf{b}$ 产生缩放时，它在 $\hat{\textbf{a}}$ 上的投影长度随着点积值的增加而增加。

点积与任意向量和标量的乘法的结合律

$(k\textbf{a})\cdot\textbf{b}=k(\textbf{a}\cdot\textbf{b})=\textbf{a}\cdot(k\textbf{b})$

当两个向量 $\hat{\textbf{a}}$ 和 $\hat{\textbf{b}}$ 都是单位向量时，可以很容易得出一个论证，即 $\hat{\textbf{a}}$ 和 $\hat{\textbf{b}}$ 上的投影与 $\hat{\textbf{b}}$ 在 $\hat{\textbf{a}}$ 上的投影具有相同的长度。点积结果时标量，因此也能推断出点积是可以交换的。

点积是可交换的

$\textbf{a}\cdot\textbf{b}=a_x b_x + a_y b_y = b_x a_x + b_y a_y = \textbf{b}\cdot\textbf{a}$

¶点积分布

就像标量乘法一样，通过加法和减法进行分布。如果点积的运算项之一是一个总和值，那么就可以单独取得各个部分的点积，然后取它们的总和。

点积通过加法和减法进行分布

$\begin{align*} \textbf{a}\cdot(\textbf{b}+\textbf{c}) &= \begin{bmatrix}a_x\\a_y\\a_x\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}b_x+c_x\\b_y+c_y\\b_z+c_z\end{bmatrix}\\ &= a_x(b_x+c_x)+a_y(b_y+c_y)+a_z(b_z+c_z)\\ &= a_xb_x+a_xc_x+a_yb_y+a_yc_y+a_zb_z+a_zc_z\\ &= (a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)+(a_xc_x+a_yc_y+a_zc_z)\\ &= \textbf{a}\cdot\textbf{b}+\textbf{a}\cdot\textbf{c} \end{align*}$

通过用 $-\textbf{c}$ 替换 $\textbf{c}$ ，可以得知，点积也可以通过向量减法进行分布，就像向量加法一样。还可以通过取得具有基本轴的向量的点积“筛选”出该轴的坐标。

$\textbf{b}$ 在 $\textbf{a}$ 上的投影实际上可以看作是 $\textbf{b}$ 在 $\textbf{a}$ 方向上的分量。因此还可以通过投影来将 $\textbf{b}$ 拆分为两部分： $\textbf{b}_{||}$ 和 $\textbf{b}_{\bot}$ （” $\textbf{b}$ 平行“和“ $\textbf{b}$ 垂直”），平行于 $\textbf{a}$ 的分量和垂直与 $\textbf{a}$ 的分量。已知 $\textbf{b}_{||}$ 的长度等于 $\hat{\textbf{a}}\cdot\textbf{b}$ ,但是 $\textbf{b}_{||}$ 是一个分量，所以将采用单位矢量 $\hat{\textbf{a}}$ 指定的方向并将其放大，表述如下：

$\textbf{b}_{||}=(\hat{\textbf{a}}\cdot\textbf{b})\hat{\textbf{a}}$

已知 $\textbf{b}_{||}$ ，则可推导 $\textbf{b}_{\bot}$ :

$\begin{align*} \textbf{b}_{\bot}+\textbf{b}_{||} &= \textbf{b} \\ \textbf{b}_{\bot} &= \textbf{b}-\textbf{b}_{||} \\ \textbf{b}_{\bot} &= \textbf{b}-(\hat{\textbf{a}}\cdot\textbf{b})\hat{\textbf{a}} \end{align*}$

¶点积截取角度

通过直接三角形来解释点积：

$\cos{\theta}=\frac{邻边(adjacent)}{斜边(hypotenuse)}=\frac{\hat{a}\cdot\hat{b}}{1}=\hat{a}\cdot\hat{b}$

两个向量 $\textbf{a}$ 和 $\textbf{b}$ 的点积等于向量之间角度 $\theta$ 的余弦，乘以向量的长度。

$\begin{align*} \textbf{a}\cdot\textbf{b} &= ||\textbf{a}||\ ||\textbf{b}||\cos{\theta} \\ \theta &= \arccos(\frac{\textbf{a}\cdot\textbf{b}}{||\textbf{a}||\ ||\textbf{b}||}) \\ \theta &= \arccos(\hat{a}\cdot\hat{b})\quad（假设\hat{a}和\hat{b}都是单位向量） \end{align*}$

点积的符号可以用作两个向量之间角度的粗略分类

$\hat{a}\cdot\hat{b}$	$\theta$	角度为	$\textbf{a}$ 和 $\textbf{b}$ 是
> 0	$0^{\circ} \leq \theta < 90^{\circ}$	锐角	主要指向同一方向
0	$\theta=90^{\circ}$	直角	垂直
< 0	$90^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$	钝角	主要指向相反方向

¶公式推导

转载来源：https://www.cnblogs.com/sf5803/p/14354300.html

如图所示： $\textbf{b}$ 与 $\textbf{b}$ 的夹角为 $\theta$ ， $\textbf{c}=\textbf{a}-\textbf{b},\textbf{a},\textbf{b},\textbf{c}$ 构成一个三角形。

由三角形余弦定理可知:

$||\textbf{c}|| = ||\textbf{b}||^2 + ||\textbf{c}||^2-2||\textbf{a}||\ ||\textbf{b}||\cos{\theta}$

假设 $\textbf{a}=\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}，\textbf{b}=\begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}$ ：

则由向量大小可知： $||\textbf{a}||^2=a_1^2+a_2^2，||\textbf{b}||^2=b_1^2+b_2^2$

余弦定理推导如下：

则有：

$\begin{align*} ||\textbf{c}||^2 &= ||(\textbf{a}-\textbf{b})||^2 \\ &= ||\begin{bmatrix} a_1 - b_1 \\ a_2 - b_2 \end{bmatrix}||^2 \\ &= (a_1 - b_2)^2 + (a_2 - b_2)^2 \\ &= a_1^2 + b_1^2 - 2a_1b_1 + a_2^2 + b_2^2 - 2a_2b_2 \quad(完全平方差公式) \end{align*}$

所以:

$a_1^2 + b_1^2 - 2a_1b_1 + a_2^2 + b_2^2 - 2a_2b_2 = a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 - 2||\textbf{a}||\ ||\textbf{b}||\cos{\theta} \\ ||\textbf{c}||^2=||\textbf{a}||^2+||\textbf{b}||^2-2||\textbf{a}||\ ||\textbf{b}||\cos{\theta}\quad(余弦定理)$

点积几何解释推导如下：

假设 $\textbf{a}$ 的方向为X轴。

$\begin{align*} \cancel{a_1^2} + \cancel{b_1^2} - \cancel{2}a_1b_1 + \cancel{a_2^2} + \cancel{b_2^2} - \cancel{2}a_2b_2 &= \cancel{a_1^2} + \cancel{a_2^2} + \cancel{b_1^2} + \cancel{b_2^2} - \cancel{2}||\textbf{a}||\ ||\textbf{b}||\cos{\theta} \\ a_1b_1+a_2b_2 &= ||\textbf{a}||\ ||\textbf{b}||\cos{\theta} \\ \textbf{a}\cdot\textbf{b} &= a_1b_1+a_2b_2 =||\textbf{a}||\ ||\textbf{b}||\cos{\theta} \end{align*}$

可证:

$\begin{align*} \textbf{a}\cdot\textbf{b} &= \begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_{n-1} \\ a_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_{n-1} \\ b_n \end{bmatrix} \\ &= a_1 b_1+a_2 b_2 + \cdots + a_{n-1} b{n-1} + a_n b_n \\ &= ||\textbf{a}||\ ||\textbf{b}||\cos{\theta} \\ \\ 则：||\textbf{b}||\cos{\theta}=\frac{\textbf{a}\cdot\textbf{b}}{||\textbf{a}||} \end{align*}$

投影公式的推导如下：

假设 $\textbf{m}$ 为投影向量。

$\begin{align*} &\cos{\theta}=\frac{邻边}{斜边}=\frac{||\textbf{m}||}{||\textbf{b}||} \\ &\therefore ||\textbf{m}||=||\textbf{b}||\cos{\theta}=\frac{\textbf{a}\cdot\textbf{b}}{||\textbf{a}||} \\ &\because \hat{\textbf{a}}=\frac{\textbf{a}}{||\textbf{a}||} \\ &\therefore ||\textbf{m}||=\hat{\textbf{a}}\cdot\textbf{b} \\ &\therefore \textbf{b}_{||}=\hat{\textbf{a}}\cdot\textbf{b} \end{align*}$

另一种点积几何公式推导法：

由图可知：

$\begin{align*} a_x &=||\textbf{a}||\cos{\theta}_a, \\ a_y &=||\textbf{a}||\sin{\theta}_a, \\ b_x &=||\textbf{b}||\cos{\theta}_b, \\ b_y &=||\textbf{b}||\sin{\theta}_b \end{align*}$

则有点积的代数定义：

$\begin{align*} \textbf{a}\cdot\textbf{b} &= a_xb_x+a_yb_y \\ &= ||\textbf{a}||\cos{\theta}_a||\textbf{b}||\cos{\theta}_b+||\textbf{a}||\sin{\theta}_a||\textbf{b}||\sin{\theta}_b \\ &= ||\textbf{a}||\ ||\textbf{b}||(\cos\theta_a\cos\theta_b+\sin\theta_a\sin\theta_b) \\ &= ||\textbf{a}||\ ||\textbf{b}||\cos(\theta_b - \theta_a) \\ &= ||\textbf{a}||\ ||\textbf{b}||\cos\theta \end{align*}$

总结

点积 $\textbf{a}\cdot\textbf{b}$ 将测量 $\textbf{b}$ 投影到 $\textbf{a}$ 上的长度，乘以 $\textbf{a}$ 的长度。
点积可用于测量特定方向的位移。
投影运算与余弦函数密切相关。点积 $\textbf{a}\cdot\textbf{b}$ 也等于 $||\textbf{a}||\ ||\textbf{b}||\cos{\theta}$ ,其中， $\theta$ 是向量之间的角度。

¶2.12 向量叉积

叉积（Cross Product）又叫外积或向量积（Vector Product）,只能在三维中应用。叉积将产生一个新的向量。

¶2.12.1 正式线性代数规则

叉乘公式

$\begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} y_1z_2 - z_1y_2 \\ z_1x_2 - x_1z_2 \\ x_1y_2 - y_1x_2 \end{bmatrix}$

叉积和点积具有相同的运算符优先级：乘法发生在加法和减法之前。运算 $\textbf{a}\cdot\textbf{b}\times\textbf{c}=\textbf{a}\cdot(\textbf{b}\times\textbf{c})$ 被称为三重积。
向量的叉积不满足交换律： $\textbf{a}\times\textbf{b}\neq\textbf{b}\times\textbf{a}$
向量的叉积满足反转换： $\textbf{a}\times\textbf{b}=-(\textbf{b}\times\textbf{a})$
向量的叉积不满足结合律： $(\textbf{a}\times\textbf{b})\times\textbf{c}\neq\textbf{a}\times(\textbf{b}\times\textbf{c})$
标量与叉积满足结合律： $k(\textbf{a}\times\textbf{b}=(k\textbf{a})\times\textbf{b}=\textbf{a}\times(k\textbf{b})$

¶2.12.2 几何解释

叉积将产生一个新的向量，垂直于原始的两个向量。其大小等于两个向量的大小乘上两个向量之间夹角的sin,该大小也等于由两个向量构成的平行四边形的面积。

叉积的大小与向量之间的角度的正弦值有关

$||\textbf{a}\times\textbf{b}||=||\textbf{a}||\ ||\textbf{b}||\sin{\theta}$

我们可以通过将 $\textbf{b}$ 的尾部放在 $\textbf{a}$ 的头部来确定 $\textbf{a}\times\textbf{b}$ 的方向，并检查是否从 $\textbf{a}$ 到 $\textbf{b}$ 顺时针或逆时针转动。在左手坐标系下，如果在形成的方向是顺时针的，则结果方向指向外侧，如果是逆时针，则指向内侧。在右手坐标系下，结果相反。

¶公式推导

假设 $\textbf{a}$ 和 $\textbf{b}$ 的叉积为： $\textbf{m}$ ,则有

$\begin{align*} \textbf{a} &= \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{bmatrix}， \\ \textbf{b} &= \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{bmatrix}， \\ \textbf{m} &= \begin{bmatrix} y_1z_2 - z_1y_2 \\ z_1x_2 - x_1z_2 \\ x_1y_2 - y_1x_2 \end{bmatrix} \end{align*}$

那么计算向量 $\textbf{m}$ 的长度平方，则有：

$\begin{align*} ||\textbf{m}||^2 &= (y_1z_2 - z_1y_2)^2 +(z_1x_2 - x_1z_2)^2 + (x_1y_2 - y_1x_2)^2 \\ &= (y_1z_2)^2 + (z_1y_2)^2-2y_1y_2z_1z_2 + (z_1x_2)^2 + (x_1z_2)^2 -2x_1x_2z_1z_2 -(x_1y_2)^2+(y_1x_2)^2-2x_1x_2y_1y_2 \\ &= (x_1^2+y_1^2+z_1^2) \times(x_2^2+y_2^2+z_2^2)-(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)^2 \\ &= ||\textbf{a}||^2||\textbf{b}||^2 - (\textbf{a}\cdot\textbf{b})^2 \\ &= ||\textbf{a}||^2||\textbf{b}||^2 - (||\textbf{a}||^2||\textbf{b}||^2\cos\theta)^2 \\ &= ||\textbf{a}||^2||\textbf{b}||^2(1-\cos{\theta}^2) \\ &= ||\textbf{a}||^2||\textbf{b}||^2\sin{\theta}^2 \\ &= (||\textbf{a}||\ ||\textbf{b}||\sin{\theta})^2 \end{align*}$